Vector desplazamiento

En este post se explica qué es el vector desplazamiento en física. Así pues, encontrarás cómo calcular el vector desplazamiento y, además, un ejercicio resuelto para asimilar del todo el concepto.

¿Qué es el vector desplazamiento?

El vector desplazamiento se define como el vector que va desde la posición inicial hasta la posición final, es decir, el vector desplazamiento es el vector que representa la variación de la posición de un cuerpo. El vector desplazamiento se calcula restando el vector posición final menos el vector posición inicial.

El punto de aplicación del vector desplazamiento es el punto que define la posición inicial del cuerpo, mientras que el extremo del vector desplazamiento es el punto que indica la posición final del cuerpo. Así pues, en física el vector desplazamiento es el vector que marca la diferencia entre la posición inicial y la posición final de un cuerpo.

El símbolo del vector desplazamiento es \Delta \vv{r}.

vector desplazamiento

Ten cuenta que el desplazamiento es diferente a la trayectoria. La trayectoria es todo el recorrido por el que ha pasado el cuerpo móvil, mientras que el vector desplazamiento tan solo indica la variación entre la posición inicial y la posición final.

Fórmula del vector desplazamiento

El vector desplazamiento es igual a la diferencia entre el vector posición final (rf) y el vector posición inicial (ri). Por lo tanto, el vector desplazamiento se calcula restando el vector posición final menos el vector posición inicial (Δr=rf-ri).

De modo que la fórmula para calcular el vector desplazamiento es la siguiente:

\Delta\vv{r}=\vv{r_f}-\vv{r_i}

Ten en cuenta que si trabajamos en un sistema de dos coordenadas, cada vector posición tiene dos componentes. Así pues, para calcular la resta de dos vectores se deben restar sus coordenadas:

\begin{aligned}\Delta\vv{r}&=\vv{r_f}-\vv{r_i}\\[3ex]\Delta\vv{r}&=\left(x_f\vv{i}+y_f\vv{j}\right)-\left(x_i\vv{i}+y_i\vv{j}\right)\\[3ex]\Delta\vv{r}&=(x_f-x_i)\vv{i}+(y_f-y_i)\vv{j}\end{aligned}

Donde:

  • \Delta \vv{r} es el vector desplazamiento.
  • \vv{r_f} es el vector posición en el instante de tiempo final.
  • \vv{r_i} es el vector posición en el instante de tiempo inicial.
  • x_f, y_f son respectivamente las coordenadas X, Y de la posición final.
  • x_i, y_i son respectivamente las coordenadas X, Y de la posición inicial.
  • \vv{i},\vv{j} son los vectores unitarios que representan las direcciones de los ejes OX y OY respectivamente.

Nota: si trabajamos en el espacio, los vectores tendrán tres coordenadas. En tal caso, se deberá añadir la coordenada Z de los vectores a la fórmula y operar con tres coordenadas.

Módulo del vector desplazamiento

El módulo del vector desplazamiento es la distancia entre la posición final y la posición inicial. Por lo tanto, para determinar la distancia entre dos puntos se debe calcular el módulo del desplazamiento entre esos dos puntos.

El módulo del vector desplazamiento es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Así pues, la fórmula para calcular el módulo del vector desplazamiento es la siguiente:

|\Delta \vv{r}|=\sqrt{(x_f-x_i)^2+(y_f-y_i)^2\vphantom{\bigl)}}

Donde:

  • |\Delta \vv{r}| es el módulo del vector desplazamiento.
  • x_f, y_f son respectivamente las coordenadas X, Y de la posición final.
  • x_i, y_i son respectivamente las coordenadas X, Y de la posición inicial.

Ten presente que la distancia entre dos puntos, que es el módulo del vector desplazamiento entre dichos puntos, no es lo mismo que la distancia recorrida, pues la distancia recorrida puede ser mayor que la distancia real entre los dos puntos.

Ejemplo del cálculo del vector desplazamiento

Una vez hemos visto la definición del vector desplazamiento y cuál es su fórmula, en este apartado veremos cómo se calcula el vector desplazamiento con un ejemplo resuelto paso a paso.

  • Una partícula se encuentra en la posición \vv{r_i}=3\vv{i}-2\vv{j} en el instante inicial y al cabo de un intervalo de tiempo está en la posición \vv{r_f}=5\vv{i}+1\vv{j}. ¿Cuál es el vector desplazamiento y la distancia entre estas dos posiciones?

Para determinar el vector desplazamiento entre la posición final y la posición inicial simplemente tenemos que restar los dos vectores de posición:

\begin{aligned}\Delta\vv{r}&=\vv{r_f}-\vv{r_i}\\[3ex]\Delta\vv{r}&=\left(5\vv{i}+1\vv{j}\right)-\left(3\vv{i}-2\vv{j}\right)\\[3ex]\Delta\vv{r}&=\bigl(5-3\bigr)\vv{i}+\bigl(1-(-2)\bigr)\vv{j}\\[3ex]\Delta\vv{r}&=2\vv{i}+3\vv{j}\end{aligned}

Luego, para hallar la distancia entre estos dos puntos, tenemos que sacar el módulo del vector desplazamiento calculado:

\begin{aligned}|\Delta \vv{r}|&=\sqrt{2^2+3^2}}\\[3ex]|\Delta \vv{r}|&=\sqrt{4+9}\\[3ex]|\Delta \vv{r}|&=\sqrt{13}\end{aligned}

Vector desplazamiento y vector de posición

Para terminar, veremos cuál es la diferencia entre el vector desplazamiento y el vector de posición, asimismo, veremos cuál es la relación entre estos dos tipos de vectores.

El vector posición, también llamado vector de posición, es un vector que describe la posición de un punto respecto a un sistema de referencia. De manera que en física el vector posición sirve para indicar la posición de un punto en un sistema de coordenadas.

Por lo tanto, el vector desplazamiento y el vector posición están relacionados, ya que el vector posición define la posición de un punto y, por otro lado, el vector desplazamiento indica la variación del vector posición entre dos instantes de tiempo.

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