En este post se explica en qué consiste el teorema del trabajo y la energía, también conocido como principio del trabajo y la energía. Así que encontrarás la fórmula del teorema del trabajo y la energía, su demostración y un ejemplo resuelto para asimilar el concepto por completo.
Índice
¿Qué es el teorema del trabajo y la energía?
En física, el teorema del trabajo y la energía (o principio del trabajo y la energía) establece que el trabajo neto es igual a la variación de energía cinética. Es decir, el trabajo realizado por la suma de todas las fuerzas del sistema es equivalente al cambio de energía cinética que experimenta dicho sistema.
Por lo tanto, el teorema del trabajo y la energía es un teorema de física que nos permite relacionar el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo con el cambio de velocidad de ese cuerpo.
El teorema del trabajo y la energía también se conoce como teorema de las fuerzas vivas.
Fórmula del teorema del trabajo y la energía
El teorema del trabajo y la energía dice que el trabajo neto es igual a la variación de la energía cinética. Por lo tanto, la fórmula del teorema del trabajo y la energía es W=ΔEc=Ecf-Eci.
![\begin{aligned}W&=\Delta E_c\\[2ex]W&=E_{c_f}-E_{c_i}\\[2ex]W&=\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_f^2-\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_i^2\end{aligned}](https://www.ingenierizando.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd06334f2fcc98c02eb181d9e8b123c5_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Donde:
es el trabajo neto.
es la variación de la energía cinética.
y 
son la energía cinética final y la energía cinética inicial.
es la masa del cuerpo o sistema.
y 
son la velocidad final y la velocidad inicial del cuerpo o sistema.
Así pues, se puede determinar si la velocidad del cuerpo ha aumentado o disminuido según el signo del trabajo neto:
- W>0: cuando el trabajo neto es positivo la variación de la energía cinética es positiva, lo que significa que la velocidad del cuerpo ha aumentado.
- W=0: cuando el trabajo neto es igual a cero la energía cinética se mantiene y, por tanto, la velocidad final del cuerpo es equivalente a la velocidad inicial.
- W<0: cuando el trabajo neto es negativo la variación de la energía cinética también es negativa, por lo que la velocidad del cuerpo ha disminuido.
Ejercicio resuelto del teorema del trabajo y la energía
- Se aplica una fuerza a un cuerpo de masa m=4 kg que inicialmente estaba en reposo y, después de avanzar 7 metros en la dirección que se ha hecho la fuerza, la velocidad del cuerpo pasa a ser 9 m/s. ¿Cuál es el valor de la fuerza que se ha ejercido sobre el cuerpo? Neglige el rozamiento en todo el ejercicio.
Para resolver este problema tenemos que utilizar la fórmula del teorema del trabajo y la energía:
Así pues, calculamos el trabajo realizado por la fuerza aplicada calculando la variación de energía cinética:
![\begin{aligned}W&=\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_f^2-\cfrac{1}{2}\cdot m\cdot v_i^2\\[2ex]W&=\cfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 9^2-\cfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 0^2 \\[2ex]W&=162 \ J\end{aligned}](https://www.ingenierizando.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3d8213c3886be3cc43dfea307b58395_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ahora que sabemos el valor del trabajo, podemos determinar la fuerza ejercida con la fórmula del trabajo:
![\begin{aligned}F&=\cfrac{W}{\Delta r \cdot \text{cos}(\alpha )}\\[2ex]F&=\cfrac{162}{7 \cdot \text{cos}(0)}\\[2ex]F&=23,14 \ N\end{aligned}](https://www.ingenierizando.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5781c55a16c7c7292e7905e361c2051_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Demostración del teorema del trabajo y la energía
A continuación puedes ver la demostración del teorema del trabajo y la energía. Para demostrar el teorema, empezaremos con la fórmula del trabajo:
En este caso vamos a considerar el caso más simple, esto es, la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido:
Gracias al principio fundamental de la dinámica, sabemos que cualquier fuerza es equivalente a la masa del cuerpo por su aceleración:
Por otro lado, podemos relacionar el desplazamiento con la velocidad mediante una de las fórmulas del MRUA:
Así pues, sustituimos la expresión anterior en la fórmula del trabajo:
Ahora simplificamos la expresión:
De modo que hemos obtenido la expresión de la energía cinética repetida dos veces: el primer producto es la energía cinética final y el segundo producto es la energía cinética inicial.
Así que el trabajo es equivalente a la variación de la energía cinética y, por tanto, queda demostrado el teorema del trabajo y la energía:
